Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點O，與BC相交于點N，連接BM、DN．

求證：四邊形BMDN是菱形；

若，，求菱形BMDN的面積和對角線MN的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）.

【解析】分析：

（1）先由已知條件證四邊形BMDN是平行四邊形，結合MN垂直平分BD即可得到平行四邊形BMDN是菱形；

（2）設BM=x，由四邊形BMDN是菱形可得DM=BM=x，由此可得AM=AD-DM=8-x，這樣在Rt△ABM中由勾股定理可求得x=5，這樣由S菱形BMDN=MD·AB即可求出其面積了；在Rt△ABD中由已知易得BD=，結合S菱形BMDN=MD·AB=BD·MN即可求得MN的長.

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴，，

∴，，

在和中，

，

∴≌，

∴，

∵，

∴四邊形BMDN是平行四邊形，

∵，

∴平行四邊形BMDN是菱形．

（2）∵四邊形BMDN是菱形，

∴，

設MD長為x，則，

在中，

即，

解得：，

即．

菱形BMDN的面積，

∵，

又∵菱形BMDN的面積，

∴．