Question

【題目】大學生自主創業，集資5萬元開品牌專賣店，已知該品牌商品成本為每件a元，市場調查發現日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間存在一次函數關系如表：

銷售價x（元/件）	…	110	115	120	125	130	…
銷售量y（件）	…	50	45	40	35	30	…

若該店某天的銷售價定為110元/件，雇有3名員工，則當天正好收支平衡（其中支出=商品成本+員工工資+應支付其它費用）：已知員工的工資為每人每天100元，每天還應支付其它費用為200元（不包括集資款）．

（1）求日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式；

（2）該店現有2名員工，試求每件服裝的銷售價定為多少元時，該服裝店每天的毛利潤最大：（毛利潤═銷售收入一商品成本一員工工資一應支付其他費用）

（3）在（2）的條件下，若每天毛利潤全部積累用于一次性還款，而集資款每天應按其萬分之二的利率支付利息，則該店最少需要多少天（取整數）才能還清集資款？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+160；（2）每件服裝的銷售價定為130元時，該服裝店每天的毛利潤最大，最大利潤為500元；（3）該店最少需要103天才能還清集資款

【解析】分析：（1）待定系數法即可求得y與x的函數關系式；

（2）根據收支平衡關系列方程求得商品的成本a，根據毛利潤=（售價-成本）×銷售量-員工工資-應支付其它費用列函數關系式，配方后根據二次函數性質可得最值情況；

（3）由（2）中的最大毛利潤，設需t天能還清借款，根據t天的總利潤≥t天的本息和，列不等式求解即可．

詳解：（1）由表可知，y是關于x的一次函數，設y=kx+b，

將x=110、y=50，x=115、y=45代入，

得：，

解得：，

∴y=-x+160；

（2）由已知可得：50×110=50a+3×100+200，

解得：a=100，

設每天的毛利潤為W，

則W=（x-100）y-2×100-200

=（x-100）（-x+160）-2×100-200

=-x2+260x-16400

=-（x-130）2+500，

∴當x=130時，W取得最大值，最大值為500，

答：每件服裝的銷售價定為130元時，該服裝店每天的毛利潤最大，最大利潤為500元；

（3）設需t天能還清借款，

則500t≥50000+0.0002×50000t

解得：t≥102，

∵t為整數，

∴t的最小值為103，

答：該店最少需要103天才能還清集資款．