Question

【題目】已知該拋物線y=x2+bx+c，經過點B（-4，0）和點A（1，0）與y軸交于點C．

（1）確定拋物線的表達式，并求出C點坐標；

（2）如圖1，經過點B的直線l交拋物線于點E，且滿足∠EBO=∠ACB，求出所有滿足條件的點E的坐標，并說明理由；

（3）如圖2，M，N是拋物線上的兩動點（點M在左，點N在右），分別過點M，N作PM∥x軸，PN∥y軸，PM，PN交于點P．點M，N運動時，且始終保持MN=不變，當△MNP的面積最大時，請直接寫出直線MN的表達式．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+3x-4，C點坐標為（0，-4）；（2）E1（，），E2（-，-）；（3）y=x-4或y=-x-．

【解析】

試題分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；

（2）根據勾股定理，可得BC的長，根據等角的正切值相等，可得HO的長，根據待定系數法，可得BE的解析式，根據解方程組，可得E點坐標；

（3）由題意△PMN是等腰直角三角形，得PM=PN=1，設M（a，a2+3a-4）則N（a+1，a2+3a+1）或（a+1，a2+3a-5），代入拋物線的解析式即可求解．

試題解析：（1）y=x2+bx+c，經過點B（-4，0）和點A（1，0），得

，解得，

拋物線的解析式為y=x2+3x-4，

當x=0時，y=-4，

C點坐標為（0，-4）；

（2）如圖：

由題意，得OB=OC=4，BC=4，

設l1與y軸交于點H，過A作AD⊥BC于點D，△ADB是等腰直角三角形，．

∵AD=BD=ABsin45°=，CD=，∠ACB=．

∵∠ACB=∠EBA，

∴HO=，H（0，），

設直線l1的解析式為y=kx+b，將B、C點坐標代入，得

k=，

l1的解析式為y=x+，

聯立拋物線與l1，得x+=x2+3x-4，

解得x=，E1（，）；

同理l2：y=-x-，

-x-=x2+3x-4，

解得x=-，E2（-，-），

綜上所述：E1（，），E2（-，-）；

（3）∵△PMN是直角三角形，斜邊MN=，

∴當△PMN面積最大時，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=1，

由題意設M（a，a2+3a-4）則N（a+1，a2+3a-3）或（a+1，a2+3a-5），

∴a2+3a-3=（a+1）2+3（a+1）-4或a2+3a-5=（a+1）2+3（a+1）-4，

∴a=0或-．

①當a=0時，M（0，-4），N（1，-3），設直線MN為y=kx+b，則，解得，所以直線MN為y=x-4．

②當a=-時，M（-，-），N（-，-），

設直線MN為y=k′x+b′，則解得，

所以直線MN為y=-x-．