Question

【題目】如圖，已知∠MON=30°，B為OM上一點，BA⊥ON于A，四邊形ABCD為正方形，P為射線BM上一動點，連結CP，將CP繞點C順時針方向旋轉90°得CE，連結BE，若AB=4，則BE的最小值為 ．

Answer 1

【答案】2+2
【解析】解：如圖所示，
將BC繞著點C順時針旋轉90°得FC，作直線FE交OM于H，則∠BCF=90°，BC=FC，
∵將CP繞點C按順時針方向旋轉90°得CE，
∴∠PCE=90°，PC=EC，
∴∠BCP=∠FCE，
在△BCP和△FCE中，
，
∴△BCP≌△FCE（SAS），
∴∠CBP=∠CFE，
又∵∠BCF=90°，
∴∠BHF=90°，
∴點E在直線FH上，即點E的軌跡為直線FH，
∵BH⊥EF，
∴當點E與點H重合時，BE=BH最短，
∵當CP⊥OM時，Rt△BCP中，∠CBP=30°，
∴CP= BC=2，BP= CP=2 ，
又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE，
∴正方形CPHE中，PH=CP=2，
∴BH=BP+PH=2 +2，
即BE的最小值為2 +2，
故答案為：2 +2．
先將BC繞著點C順時針旋轉90°得FC，作直線FE交OM于H，則∠BCF=90°，BC=FC，根據旋轉的性質，即可得到△BCP≌△FCE（SAS），進而得出∠BHF=90°，據此可得點E在直線FH上，即點E的軌跡為直線FH，再根據當點E與點H重合時，BE=BH最短，求得BH的值即可得到BE的最小值．