Question

【題目】我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物面，經過鍋心和蓋心的縱斷面是由兩段拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”．鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直角坐標系如圖1所示，如果把鍋縱斷面的拋物線記為C1 ， 把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2 ．

（1）求C1和C2的解析式；
（2）如圖2，過點B作直線BE：y= x﹣1交C1于點E（﹣2，﹣ ），連接OE、BC，在x軸上求一點P，使以點P、B、C為頂點的△PBC與△BOE相似，求出P點的坐標；

（3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C1或C2上是否存在一點Q，使得△EBQ的面積最大？若存在，求出Q的坐標和△EBQ面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意A（﹣3，0），B（3，0），C（0，1），D（0，﹣3）

設拋物線記為C2的解析式為y=ax2+c，

把B（3，0），C（0，﹣1）代入得到 ，解得 ，

∴拋物線記為C2的解析式為y=﹣ x2+1，

同法可得拋物線記為C1的解析式為y= x2﹣3

（2）

解：∵y= x﹣1交C1于點E（﹣2，﹣ ），

∴BE= = ，

設直線BE與y軸的交點為F，

由y= x﹣1，可得F（0，﹣1），

∵OF=OC=1，OB=OB，∠BOC=∠BOF，

∴△BOC≌△BOF，

∴∠OBC=∠EOB，

因此可能存在兩種情形，設P（x，0），

①當△PBC∽△OBE時， = ，即 = ，解得x= ，

∴點P坐標為（ ，0）．

②當△PBC∽△EBO時， = ，即 = ，解得x=﹣ ，

∴點P坐標為（﹣ ，0）．

③∵∠OBC≠∠AOE，

∴不存在點P在點B右側的情形，

綜上所述，滿足條件的點P坐標（ ，0）或（﹣ ，0）

（3）

解：要使△EBQ的面積最大，則點Q到直線BE的距離最大時，過點Q的直線與直線BE平行，且與拋物線只有一個交點．

①如圖1中，當點Q在C1上時，

設與拋物線只有一個交點的直線為y= x+b，則點Q（x， x+b），代入y= x2﹣3，得到 x2﹣3= x+b，整理得x2﹣x﹣9﹣3b=0，

∵△=0，

∴1﹣4（﹣9﹣3b）=0，

∴b=﹣ ，

∴y= x﹣ ，

由 ，解得 ，

∴Q（ ，﹣ ），

過Q作x軸的垂線交直線BE于M，

把x= 代入y= x﹣1，可得M（ ，﹣ ），

∴MQ=﹣ ﹣（﹣ ）= ，

∴△EBQ面積的最大值為 × ×（2+3）= ．

②如圖2中，當Q在C2上時，

設與拋物線只有一個交點的直線為y= x+b′，則Q（x， x+b′），代入y=﹣ x2+1，可得x2+3x﹣9+9b′=0，

∵△=0，

∴9﹣4（9b′﹣9）=0，

∴b′= ，

∴y= x+ ，與y=﹣ x2+1聯列方程組，解得Q（﹣ ， ），連接EQ，交x軸于N．

易知直線QE的解析式為y= x+8，

∴N（﹣ ，0），

∴BN=3﹣（﹣ ）= ，

∴△QEB的面積最大值為 × ×[ ﹣（﹣ ）]= = ，

∵ ＞ ，

∴△EBQ的面積的最大值為 ，此時Q（﹣ ， ）．

【解析】（1）根據題意確定A、B、C、D的坐標，利用待定系數法即可解決問題；（2）首先證明∠OBC=∠EOB，因此可能存在兩種情形，設P（x，0），①當△PBC∽△OBE時，②當△PBC∽△EBO時，分別求解即可．（3）要使△EBQ的面積最大，則點Q到直線BE的距離最大時，過點Q的直線與直線BE平行，且與拋物線只有一個交點．①如圖1中，當點Q在C1上時，設與拋物線只有一個交點的直線為y= x+b，則點Q（x， x+b），代入y= x2﹣3，得到 x2﹣3= x+b，整理得x2﹣x﹣9﹣3b=0，由△=0，可得1﹣4（﹣9﹣3b）=0，推出b=﹣ ，可得y= x﹣ ，由 ，求出Q的坐標即可解決問題．②如圖2中，當Q在C2上時，同法可求．