Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=﹣x+4與y軸、x軸分別交于

E、F，邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移，在平移過程中，得到△A1B1C1，當(dāng)點(diǎn)B1與原點(diǎn)重合時(shí)，解答下列問題：

（1）求出點(diǎn)A1的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)A1是否在直線l上；

（2）求出邊A1C1所在直線的解析式；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使得以P、A1、C1、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) y=﹣x+6 ;(3) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）或（﹣，3）或（5，﹣3）．

【解析】

（1）過點(diǎn)A1作A1D⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出B1D、A1D的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出點(diǎn)A1的坐標(biāo)，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可找出點(diǎn)A1在直線l上；

（2）由等邊三角形的邊長(zhǎng)可找出點(diǎn)C1的坐標(biāo)，由點(diǎn)A1、C1的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出邊A1C1所在直線的解析式；

（3）分別以△A1C1F的三條邊為對(duì)角線找出平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)即可找出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）過點(diǎn)A1作A1D⊥x軸于點(diǎn)D，如圖1所示．

∵△A1B1C1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

∴B1D=×2=，A1D=×2=3，

∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（，3）．

∵當(dāng)x=時(shí)，y=﹣×+4=3，

∴點(diǎn)A1在直線l上．

（2）∵△A1B1C1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

∴B1C1=2，

∴點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（2，0）．

設(shè)邊A1C1所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），

將A1（，3）、C1（2，0）代入y=kx+b，得：

，解得：

∴邊A1C1所在直線的解析式為y=﹣x+6．

（3）當(dāng)y=0時(shí)，有﹣x+4=0，

解得：x=4，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0）．

分三種情況考慮（如圖2）：

①當(dāng)A1F為對(duì)角線時(shí)，四邊形A1C1FP1為平行四邊形，

∵A1（，3），C1（2，0），F(xiàn)（4，0），

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（+4﹣2，3+0﹣0），即（3，3）；

②當(dāng)A1C1為對(duì)角線時(shí)，四邊形A1P2C1F為平行四邊形，

∵A1（，3），C1（2，0），F(xiàn)（4，0），

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（+2﹣4，3+0﹣0），即（﹣，3）；

③當(dāng)C1F為對(duì)角線時(shí)，四邊形A1C1P3F為平行四邊形，

∵A1（，3），C1（2，0），F(xiàn)（4，0），

∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（2+4﹣，0+0﹣3），即（5，﹣3）．

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）或（﹣，3）或（5，﹣3）．