Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，延長BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延長線于點E．

（1）求證：BD+2DE=BM．
（2）如圖2，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=_____;

Answer 1

【答案】
（1）

證明：過點M作MP⊥BC交BD的延長線于點P，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，

∴PM∥CN，

∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，

∴BM=PM，

∵BM=DN，

∴DN=MP，

在△DEN和△PEM中

，

∴△DEN≌△PEM，

∴DE=EP，

∵△BMP是等腰直角三角形

∴BP=BM

∴BD+2DE=BM．

（2）

解：∵AF：FD=1：2，

∴DF：BC=2：3，

∵△BCN∽△FDN，

∴

設正方形邊長為a，又知CM=2，

∴BM=DN=a+2，CN=2a+2

∴，

解得：a=2，

∴DF=，BM=4，BD=，

又∵△DFG∽△BMG，

∴，

∴，

∴DG=．

故答案為：．

【解析】（1）過點M作MP⊥BC交BD的延長線于點P，首先證明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到結論；
（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．