Question

【題目】已知A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）五個點，拋物線y=a（x-1）2+k（a＞0）經過其中的三個點．
（1）求證：C、E兩點不可能同時在拋物線y=a（x-1）2+k（a＞0）上；
（2）點A在拋物線y=a（x-1）2+k（a＞0）上嗎？為什么？
（3）求a和k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=a（x-1）2+k的對稱軸為x=1，

而C（-1，2），E（4，2）兩點縱坐標相等，

由拋物線的對稱性可知，C、E關于直線x=1對稱，

又∵C（-1，2）與對稱軸相距2，E（4，2）與對稱軸相距3，

∴C、E兩點不可能同時在拋物線上；

（2）

解：假設點A（1，0）在拋物線y=a（x-1）2+k（a＞0）上，

則a（1-1）2+k=0，解得k=0，

因為拋物線經過5個點中的三個點，

將B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）代入，

得出a的值分別為a=-1，a= ，a=-1，a= ，

所以拋物線經過的點是B，D，

又因為a＞0，與a=-1矛盾，

所以假設不成立．

所以A不在拋物線上；

而k為任意數，這與拋物線是確定的矛盾，故點A不在拋物線y=a（x-1）2+k（a＞0）上．
∴A點不在拋物線上

（3）

解：將D（2，-1）、C（-1，2）兩點坐標代入y=a（x-1）2+k中，得

解得

或將E、D兩點坐標代入y=a（x-1）2+k中，得

解得

綜上所述，

或

【解析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特點．關鍵是明確圖象上點的坐標必須滿足函數解析式．（1）由拋物線y=a（x-1）2+k可知，拋物線對稱軸為x=1，而C（-1，2），E（4，2）兩點縱坐標相等，應該關于直線x=1對稱，但C（-1，2）與對稱軸相距2，E（4，2）與對稱軸相距3，故不可能；（2）假設A點在拋物線上，得出矛盾排除A點在拋物線上；（3）B、D兩點關于對稱軸x=1對稱，一定在拋物線上，另外一點可能是C點或E點，分別將C、D或D、E兩點坐標代入求a和k的值．