Question

【題目】已知如圖，直線EF與AB、CD分別相交于點E、F．

（1）如圖1，若∠1=120°，∠2=60°，求證AB∥CD；

（2）在（1）的情況下，若點P是平面內的一個動點，連結PE、PF，探索∠EPF、∠PEB、∠PFD三個角之間的關系；

①當點P在圖2的位置時，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD；

請閱讀下面的解答過程，并填空（理由或數學式）

解：如圖2，過點P作MN∥AB，

則∠EPM=∠PEB_____．

∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作圖）

∴MN∥CD_____．

∴∠MPF=∠PFD

∴∠_____+∠_____=∠PEB+∠PFD（等式的性質）

即∠EPF=∠PEB+∠PFD

②當點P在圖3的位置時，∠EPF、∠PEB、∠PFD三個角之間有何關系并證明．

③當點P在圖4的位置時，請直接寫出∠EPF、∠PEB、∠PFD三個角之間的關系：_____．

Answer 1

【答案】兩直線平行，內錯角相等如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行∠EPM∠MPF∠EPF+∠PFD=∠PEB

【解析】

（1）根據對頂角相等可得∠BEF的度數，根據同旁內角互補，兩直線平行，即可得出結論；

（2）①過點P作MN∥AB，根據平行線的性質得∠EPM=∠PEB，且有MN∥CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性質易得∠EPF=∠PEB+∠PFD．

②③的解題方法與①一樣，分別過點P作MN∥AB，然后利用平行線的性質得到三個角之間的關系．

（1）∵∠1=120°，

∴∠BEF=120°，

又∵∠2=60°，

∴∠2+∠BEF=180°，

∴AB∥CD；

（2）①如圖2，過點P作MN∥AB，則∠EPM=∠PEB（兩直線平行，內錯角相等）．

∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作圖），

∴MN∥CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．

∴∠MPF=∠PFD，

∴∠EPM+∠FPM=∠PEB+∠PFD（等式的性質），

即∠EPF=∠PEB+∠PFD，

故答案為：兩直線平行，內錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；∠EPM，∠MPF；

②∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；

證明：如圖3，過作PM∥AB，

∵AB∥CD，MP∥AB，

∴MP∥CD，

∴∠BEP+∠EPM=180°，∠DFP+∠FPM=180°，

∴∠BEP+∠EPM+∠FPM+∠PFD=360°，

即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；

③∠EPF+∠PFD=∠PEB．

理由：如圖4，過作PM∥AB，

∵AB∥CD，MP∥AB，

∴MP∥CD，

∴∠PEB=∠MPE，∠PFD=∠MPF，

∵∠EPF+∠FPM=∠MPE，

∴∠EPF+∠PFD=∠PEB．