Question

【題目】如圖，將邊長為6的正三角形紙片ABC按如下順序進行兩次折疊，展開后，得折痕AD、BE．(如圖①)，點O為其交點．如圖②，若P、N分別為BE、BC上的動點．如圖③，若點Q在線段BO上，BQ=1，則QN+NP+PD的最小值=_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作點Q關于BC的對稱點Q1，點D關于BE的對稱點D1，連接D1Q1，交BE于P，BC于N，連接BQ1，QN、PD，由等邊三角形的性質和軸對稱的性質可得∠CBE=∠Q1BN=∠ABE=30°，BQ=BQ1，BD=BD1，PD=PD1，NQ=NQ1，即可得Q1D1是QN+NP+PD的最小值，可得△BQ1Q和△BD1D是等邊三角形，根據∠CBE=∠Q1BN=∠ABE=30°，可得∠ABQ1=90°，由AD是折痕可得BD=BC，利用勾股定理求出Q1D1的長即可得答案．

如圖，作點Q關于BC的對稱點Q1，點D關于BE的對稱點D1，連接D1Q1，交BE于P，BC于N，連接BQ1，QN、PD，

∵△ABC是等邊三角形，AD、BE是折痕，

∴∠CBE=∠Q1BN=∠ABE=30°，點D1在AB上，BD=BC=3，∠ABC=60°，

∴∠ABQ1=90°，∠Q1BQ=60°，

∵點Q關于BC的對稱點D1，點D關于BE的對稱點D1，

∴BQ=BQ1，BD=BD1，PD=PD1，NQ=NQ1，

∴△BQ1Q和△BD1D是等邊三角形，Q1D1是QN+NP+PD的最小值，

∴BQ1=BQ=1，BD1=BD=3，

∴Q1D1==．

故答案為：