Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F，連接BD．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據平行四邊形性質得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根據ASA推出全等即可；

（2）根據全等得出AE=CF，根據平行四邊形性質得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四邊形DFBE是平行四邊形，根據等腰三角形性質得出∠DEB=90°，根據矩形的判定推出即可．

試題解析：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．

∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB，∴∠ABE=∠CDF．

∵在△ABE和△CDF中，∵∠A=∠C，AB=DC，∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF（ASA）．

（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四邊形DFBE是平行四邊形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°，∴平行四邊形DFBE是矩形．