Question

【題目】一個三位自然數m，將它任意兩個數位上的數字對調后得一個首位不為0 的新三位自然數 m’（ m’可以與m相同），記m’=，在 m’ 所有的可能情況中，當|a+2b-c| 最小時，我們稱此時的m’ 是m 的“幸福美滿數”，并規定K (m) = a2 +2b2 -c2．例如：318按上述方法可得新數有：381、813 、138 ；因為|3+28－1｜＝ 18 ，｜8+ 21－3｜＝7，｜1 +23－8｜＝1，1< 7<18 ，所以138 是318的“幸福美滿數”，K(318)=|12+232－82|=－45．

（1）若三位自然數t的百位上的數字與十位上的數字都為n（1≤n ≤ 9 ，n為自然數），個位上的數字為0 ，求證：K (t )＝ 0；

（2）設三位自然數s＝100+10x + y(1≤ x ≤ 9,1≤y≤9, ,x y 為自然數) ，且x<y ．交換其個位與十位上的數字得到新數s’，若19s+8s’=3888，那么我們稱s為“夢

想成真數”，求所有“夢想成真數”中K (s )的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）所有“夢想成真數”中K（s）的最大值為-17．

【解析】分析：（1）根據案例找出t變化后得到的新數，驗證后即可得出

是t的“幸福美滿數”．進而即可得出
（2）根據題意找出結合 即可得出根據即可得出的可能值，進而可找出s的“幸福美滿數”和的值，取其最大值即可．

詳解：(1)證明：按上述方法可得新數，

∵|n+2n0|=3n，|n+2×0n|=0，0<3n，

∴是t的“幸福美滿數”.

∴

(2)根據題意得：

∵19s+8s′=3888，

∴19×(100+10x+y)+8×(100+10y+x)=3888，即2x+y=12.

∵

∴x=2，y=8；x=3，y=6.

∴s=128或s=136.

∵128是128的“幸福美滿數”，136和316是136的“幸福美滿數”，

∴K(s)=55、17或25.

∴所有“夢想成真數”中K(s)的最大值為17.