Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB= ，D為AC上一點，DE⊥AB于點E，AC=12，BC=5．

（1）求 的值；
（2）當 時，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：解法一：∵DE⊥AB，

∴∠DEA=90°．

∴∠A+∠ADE=90°．

∵∠ACB= ，

∴∠A+∠B=90°．

∴∠ADE=∠B．

在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，

∴AB=13．

∴ ．

∴

解法二：∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴△ ∽△ ．

∴ ．

在Rt△ 中，∵ ，

∴

∴

∴

（2）解：解法一：由（1）得 ，

設 為 ，則 ．

∵ ，

∴ ．

解得 ．

∴ ．

解法二：由（1）可知 △ ∽△ ．

∴

設 ，則 ．

∴ ．

解得 ．

∴ ．

【解析】（1）根據勾股定理求出AB的值，根據同角的余角相等，得到∠ADE=∠B，根據三角函數的定義求出cos∠ADE的值；（2）根據三角函數值直接求出AD的值即可.
【考點精析】利用銳角三角函數的定義和同角三角函數的關系（倒數、平方和商）對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數；各銳角三角函數之間的關系：平方關系（sin2A+cos2A=1）；倒數關系（tanAtan(90°—A)=1）；弦切關系（tanA=sinA/cosA ）．