Question

九年級上冊的教材第118頁有這樣一道習題：
“在一塊三角形余料ABC中，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如圖），使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？”
（1）請你解答上題；
（2）若將上題圖中的正方形PQMN改為矩形，其余條件不變，求矩形PQMN的面積S的最大值；
（3）我們把上面習題中的正方形PQMN叫做“BC邊上的△ABC的內接正方形”，若在習題的條件下，又知AB=150mm，AC=100mm，請分別寫出AB邊上的△ABC的內接正方形的邊長和AC邊上的△ABC的內接正方形的邊長（不必寫出過程，只要直接寫出答案即可，結果精確到1mm）；
（4）結合第（1）、（3）題，若三角形的三邊長分別為a，b，c，各邊上的高分別為h_a，h_b，h_c，要使a邊上的三角形內接正方形的面積最大，請寫出a與h_a必須滿足的條件（不必寫出過程）．                                             

Answer 1

解：（1）設正方形的邊長為xmm，由條件可得△APN∽△ABC，
∴，即，解得x=48mm．                            
（2）設PN= xmm，由條件可得△APN∽△ABC，
∴，即，解得PQ=．
∴S=PN·PQ=，
∴S的最大值為2400mm²．                                            
（3）； mm                                         
（4）a+h_a<b+h_b且a+h_a < c+h_c．                                          

（1）設正方形的邊長為xmm，然后表示出AE的長度，再根據相似三角形對應高的比等于對應邊的比列出比例式，計算即可得解；
（2）設PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據矩形的面積公式列式計算，再根據二次函數的最值問題解答；
（3）根據AB、AC的長度求出相應邊上的高，然后根據（1）中的方法計算即可；
（4）用三角形的邊長與相應邊上的高表示出這邊上的內接正方形的邊長，再根據正方形的面積越大，則邊長越大解答．