Question

【題目】如圖1,已知拋物線與軸交于A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），與軸交于點(diǎn)C.過(guò)A,C兩點(diǎn)作直線，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PD⊥軸，垂足為D，交直線于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.

（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使O,E,C,P四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形,若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖2，過(guò)A點(diǎn)作直線⊥,連接OE,作△AOE的外接圓,交直線于點(diǎn)F,連接OF,EF.當(dāng)△EOF的面積最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在（3）P( 2,6)， 最小值為4

【解析】（1）將A，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解二元一次方程即可求出函數(shù)表達(dá)式；（2）由題意已知P、E的坐標(biāo)，又由P作PD⊥x軸，要使O，E，C，P四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形，只需PE=0C=4即可，可分當(dāng)點(diǎn)P在直線的上（下）方求出m；（3）先證明△OEF為等腰直角三角形，求出S△OEF的面積，即可求出最小值.

解：（1）由題得:A(4,0), C(0，4)

設(shè)直線的表達(dá)式為 故得：

∴

∴直線的表達(dá)式為：

（2）

答: 存在.

由題可知:

∵PD⊥軸 ∴PE∥軸

∴ 要使O,E,C,P四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形只需PE=0C=4即可

可分以下兩種情形：

(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線的上方（）時(shí)

PE=

解得：

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線的下方（或）

PE=

解得：

由上知：當(dāng)或時(shí)，存在點(diǎn)P，使O,E,C,P四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形

先證明△OEF為等腰直角三角形

得出

當(dāng) OE⊥直線時(shí)，OE的長(zhǎng)度最短

∴ P( 2,6)， 最小值為4

“點(diǎn)睛”此題主要考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，是一道綜合性較強(qiáng)的考題，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，以及分類討論思想的應(yīng)用，解題時(shí)應(yīng)注意不要漏解.