Question

【題目】如圖，直線y=2x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，D是射線AB上的動點（不與點A重合），DN⊥x軸于N，把△AND沿直線AB翻折，得到△AMD，延長MA交y軸于點C，過A、C、D三點的圓E與x軸交于點F，連結DF．
（1）直接寫出tan∠BAO的值為；
（2）求證：MC=NF；
（3）求線段OC的長；
（4）是否存在點D，使DF∥AC？若存在，求點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：連接DC，則∠MCD=∠NFD，

在△MCD與△DNF中， ，

∴△MCD≌△NFD，

∴MC=NF；

（3）解：作CG⊥y軸于G，

∵CG∥x軸，

∴∠AGC=∠DAF，

∵∠GAC=∠MAD=∠DAF，

∴∠AGC=∠GAC，

∴GC=AC，

設GC=a，

∵tan∠BAO=tan∠BGC=2，

∴BC=2a，

∴OC=2a﹣3，

∵AO2+OC2=AC2，

∴1.52+（2a﹣3）2=a2，

解得：a= ，a= （舍去），

∴線段OC的長是2；

（4）解：存在，理由：設D（m，2m+3）

當DF∥AC時，∠DFA=∠FAC，

由（3）知，tan∠CAO= ，

∴tan∠DFA= ，

∵DN=2m+3，

∴NF= （2m+3），

∵MA=AN= +m，AC= = ，

∴NF=MC=AC+AM= +m+ =4+m= （2m+3），

解得：m= ，

∴存在點D（ ，10）．

【解析】解：（1）在y=2x+3中，令y=0，得x=﹣ ，令x=0，得y=3， ∴A（﹣ ，0），B（0，3），
∴OA= ，OB=3，
∴tan∠BAO= =2；
所以答案是：2；