Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中 是原點， 的頂點 的坐標分別是 ，點 把線段 三等分，延長 分別交 于點 ，連接 ，則下列結論：
① 是 的中點；② 與 相似；③四邊形 的面積是 ；④ ；其中正確的結論是 ． （填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①③
【解析】如圖，分別過點A、B作 于點N， 軸于點M，

在 中， ，
是線段AB的三等分點， ，
，
，
是OA的中點，故①正確；
，
不是菱形，
，
，
，
故 和 不相似，故②錯誤；
由①得，點G是AB的中點， 是 的中位線，
，
是OB的三等分點， ，
，
∴ ，
，∴四邊形 是梯形，
，
故③正確；
,故④錯誤，
綜上：①③正確，
故答案為：①③.
①根據題意證明△ODF∽△BDC，得出對應邊成比例，再根據D、E是線段OB的三等分點，證得OF=BC=OA，即可證得結論；②延長BC交y軸于H證明OA≠AB，則∠AOB≠∠EBG，所以△OFD∽△BEG不成立；③利用面積差求得： 根據相似三角形面積的比等于相似比的平方進行計算并作出判斷；
④根據勾股定理進行計算OB的長，根據三等分線段OB可得結論。