Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸的負半軸交于點A，與y軸交于點B，連結AB．點C 在拋物線上，直線AC與y軸交于點D．

（1）求c的值及直線AC的函數表達式；
（2）點P在x軸的正半軸上，點Q在y軸正半軸上，連結PQ與直線AC交于點M，連結MO并延長交AB于點N，若M為PQ的中點．
①求證：△APM∽△AON；
②設點M的橫坐標為m ， 求AN的長（用含m的代數式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點C（6，）代入拋物線得:=9++c.

解得c=-3.

當y=0時，x2+x-3=0.

解得：x1=-4,x2=3.

∴A(-4,0).

設直線AC的函數表達式為：y=kx+b(k≠0）.

把A(-4,0)，C（6， ）代入得：

解得：

∴直線AC的函數表達式為：y=x+3.

（2）

①證明：∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==.

在Rt△AOB中，tan∠OAD==.

∴∠OAB=∠OAD.

∵在Rt△POQ中,M為PQ中點.

∴OM=MP.

∴∠MOP=∠MPO.

又 ∵∠MOP=∠AON.

∴∠APM=∠AON.

∴△APM∽△AON.

②解：如下圖，過點M作ME⊥x軸于點E.

∵OM=MP.

∴OE=EP.

又∵點M的橫坐標為m.

∴AE=m+4,AP=2m+4.

∵tan∠OAD=.

∴cos∠EAM=cos∠OAD=.

∴AM=AE=.

∵△APM∽△AON.

∴=.

∴AN==.

【解析】(1)把點C（6，）代入拋物線求出c的值，令y=0求出A點坐標，再用待定系數法求出直線AC的函數表達式.
(2)①在Rt△AOB中，tan∠OAB==. 在Rt△AOB中，tan∠OAD==.從而得出∠OAB=∠OAD；在Rt△POQ中,M為PQ中點得出OM=MP.∠APM=∠AON；從而證明△APM∽△AON.
②如上圖，過點M作ME⊥x軸于點E；由OM=MP.得出OE=EP；點M的橫坐標為m；得出AE=m+4,AP=2m+4.
根據tan∠OAD=.求出cos∠EAM=cos∠OAD=；再根據△APM∽△AON；得出AN==.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．