Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點D，交CA的延長線于點E，連接AD、DE．
（1）求證：D是BC的中點；
（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求弦AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是圓O的直徑，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC

（2）解：∵AB=AC，

∠B=∠C，

∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C，

∴BD=DC=DE=3，

∵BD﹣AD=2，

∴AD=1，

在RT△ABD中，AB= = ，

∴⊙O的半徑為

（3）解：∵AB=AC= ，BD=DC=3，

∴BC=6，

∵∠B=∠E，∠C=∠C，

∴△EDC∽△BAC，

∵ACEC=DCBC，

∴ EC=3×6，

∴EC= ，

∴AE=EC﹣AC= ﹣ =

【解析】（1）根據圓周角定理求得AD⊥BC，根據等腰三角形三線合一的性質即可證得結論；（2）先求得∠E=∠C，根據等角對等邊求得BD=DC=DE=3，進而求得AD=1，然后根據勾股定理求得AB，即可求得圓的半徑；（3）根據題意得到AC= ，BC=6，DC=3，然后根據割線定理即可求得EC，進而求得AE．
【考點精析】掌握等腰三角形的性質和圓周角定理是解答本題的根本，需要知道等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．