Question

【題目】已知二次函數y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常數．
（1）求證：不論a為何值，該二次函數的圖象與x軸一定有公共點；
（2）當a=4時，該二次函數的圖象頂點為A，與x軸交于B，D兩點，與y軸交于C點，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：y=x2﹣（a﹣1）x+a﹣2．

因為[﹣（a﹣1）]2﹣4（a﹣2）=（a﹣3）2≥0．

所以，方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2=0有實數根．

所以，不論a為何值，該函數的圖象與x軸總有公共點；

（2）解：由題可知：當a=4時，y=x2﹣3x+2，

因為y=x2﹣3x+2=（x﹣ ）2﹣ ，所以A（ ，﹣ ），

當y=0時，x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，所以B（1，0），D（2，0），

當x=0時，y=2，所以C（0，2），

所以S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC= +1= ．

【解析】（1）利用根的判別式符號進行證明；（2）由拋物線解析式求得點B、C、D的坐標，然后利用分割法來求四邊形ABCD的面積．
【考點精析】通過靈活運用拋物線與坐標軸的交點，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．即可以解答此題．