Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點P在AB上，點Q在DC的延長線上，連接DP，QP，且∠APD＝∠QPD，PQ交BC于點G.

（1）求證：DQ＝PQ；

（2）求AP·DQ的最大值；

（3）若P為AB的中點，求PG的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）26；（3）

【解析】試題分析：（1）要證DQ＝PQ，即證∠QPD＝∠QDP，又因為已知∠APD＝∠QPD，即證∠APD＝∠QDP，即證AB∥CD，由四邊形ABDF是矩形得到AB∥CD；（2）過點Q作QE⊥DP，垂足為E，則DE＝DP，先證△QDE∽△DPA，

得出＝， 所以AP·DQ＝DP·DE＝DP2，在Rt△DAP中，有DP2＝DA2＋AP2＝36＋AP2，所以AP·DQ＝（36＋AP2），又由點P在AB上，故AP≤4，所以AP·DQ≤26，即AP·DQ的最大值為26；（3）由P為AB的中點得到AP＝BP＝AB＝2，由（2）得，DQ＝（36＋22）＝10，所以CQ＝DQ－DC＝6．設CG＝x，則BG＝6－x，由（1）得，DQ∥AB，所以＝，即＝，解得x＝，所以BG＝6－＝，所以PG＝＝．

試題解析：

（1）∵四邊形ABDF是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠APD＝∠QDP．

∵∠APD＝∠QPD，

∴∠QPD＝∠QDP，

∴DQ＝PQ．

（2）過點Q作QE⊥DP，垂足為E，則DE＝DP，如圖所示：

∵∠DEQ＝∠PAD＝90°，∠QDP＝∠APD，

∴△QDE∽△DPA，

∴＝，

∴AP·DQ＝DP·DE＝DP2．

在Rt△DAP中，有DP2＝DA2＋AP2＝36＋AP2，

∴AP·DQ＝（36＋AP2）．

∵點P在AB上，

∴AP≤4，

∴AP·DQ≤26，即AP·DQ的最大值為26．

（3）∵P為AB的中點，

∴AP＝BP＝AB＝2，

由（2）得，DQ＝（36＋22）＝10．

∴CQ＝DQ－DC＝6．設CG＝x，則BG＝6－x，

由（1）得，DQ∥AB，

∴＝，

即＝，解得x＝，

∴BG＝6－＝，

∴PG＝＝．