Question

【題目】正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直，

（1）證明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；

（2）設BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；

（3）當M點運動到什么位置時Rt△ABM∽Rt△AMN，求此時x的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當時，四邊形面積最大為10；（3）當點運動到的中點時，，此時.

【解析】

試題(1)、根據AM⊥MN得出∠CMN＋∠AMB= 90°，根據Rt△ABM得出∠CMN＝∠MAB，從而得出三角形相似；(2)、根據三角形相似得出CN與x的關系，然后根據梯形的面積計算法則得出函數解析式；(3)、根據要使三角形相似則需要滿足，結合(1)中的條件得出BM=CM，即M為BC的中點.

試題解析：(1)在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝4，∠B=∠C =90°，

∵AM⊥MN ∴∠AMN= 90°. ∴∠CMN＋∠AMB= 90°．

在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°， ∴∠CMN＝∠MAB． ∴Rt△AMN∽Rt△MCN;

(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN， ∴∴∴CN=

∴y===

當x=2時，y取最大值，最大值為10；故當點肘運動到BC的中點時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為10；

(3)∵∠B＝∠AMN= 90°， ∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必須 有

由（1）知∴BM=MC

∴當點M運動到BC的中點時，Rt△ABM∽Rt△AMN，此時x=2