Question

如圖1，已知∠DAC=90°，△ABC是等邊三角形，點P為射線AD上任意一點（點P與點A不重合），連結CP，將線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，連結QB并延長交直線AD于點E．
（1）如圖1，猜想∠QEP=      °；
（2）如圖2，3，若當∠DAC是銳角或鈍角時，其它條件不變，猜想∠QEP的度數，選取一種情況加以證明；
（3）如圖3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的長．

Answer 1

（1） 60°；(2) 60°，證明見解析；（3）．

試題分析：（1）由△ACP≌△BCQ得到∠APC=∠Q，根據圓周角定理，點P、E、C、Q 四點共圓，所以∠QEP=∠PCQ=6O°．
（2）同（1）可得．
（3）證明△GBC為等腰直角三角形，即可根據等腰直角三角形的性質求得BQ的長．
（1）60°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
又由題意可知，CP=CQ，∠PCQ=6O°，
∴∠ACP=∠BCQ．
∴△ACP≌△BCQ．
∴∠APC=∠Q．
∴點P、E、C、Q 四點共圓．
∴∠QEP=∠PCQ=6O°．
（2）60°．以∠DAC是銳角為例證明如下:
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
又由題意可知，CP=CQ，∠PCQ=6O°，
∴∠ACP=∠BCQ．
∴△ACP≌△BCQ．
∴∠APC=∠Q．
∴點P、E、C、Q 四點共圓．
∴∠QEP=∠PCQ=6O°．
（3）設PC與BQ交于點G，
由題意可求，∠APC=30°，∠PCB=45°．
又由（2）可證 ∠QEP=60°．
∴可證QE垂直平分PC，
∴△GBC為等腰直角三角形．
∵AC=4，
∴，
∴．