Question

【題目】問題原型：如圖①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a．將邊AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BD，連結CD．過點D作△BCD的BC邊上的高DE， 易證△ABC≌△BDE，從而得到△BCD的面積為 ．
初步探究：如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a．將邊AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BD，連結CD．用含a的代數式表示△BCD的面積，并說明理由．
簡單應用：如圖③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a．將邊AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BD，連結CD．直接寫出△BCD的面積．（用含a的代數式表示）

Answer 1

【答案】解：初步探究：△BCD的面積為 ． 理由：如圖②，過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E．

∴∠BED=∠ACB=90°．
∵線段AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BE，
∴AB=BD，∠ABD=90°．
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°．
∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC=DE=a．
∵S△BCD= BCDE
∴S△BCD= ；
簡單應用：如圖③，過點A作AF⊥BC與F，過點D作DE⊥BC的延長線于點E，

∴∠AFB=∠E=90°，BF= BC= a．
∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠ABF+∠DBE=90°，
∴∠FAB=∠EBD．
∵線段BD是由線段AB旋轉得到的，
∴AB=BD．
在△AFB和△BED中，
，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴BF=DE= a．
∵S△BCD= BCDE，
∴S△BCD= aa= a2 ．
∴△BCD的面積為 ．
【解析】初步探究：如圖②，過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E，由垂直的性質就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．進而由三角形的面積公式得出結論； 簡單運用：如圖③，過點A作AF⊥BC與F，過點D作DE⊥BC的延長線于點E，由等腰三角形的性質可以得出BF= BC，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面積公式就可以得出結論．
【考點精析】本題主要考查了旋轉的性質的相關知識點，需要掌握①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．