Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，過點A作⊙O的切線交BC的延長線于點F，連接AE．
（1）求證：∠ABC=2∠CAF；
（2）過點C作CM⊥AF于M點，若CM=4，BE=6，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AF是⊙O的切線，

∴∠BAF=90°．

∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC=90°．

∴∠1=∠2．

∵AB=BC，

∴∠ABC=2∠1=2∠2

（2）解：∵∠1=∠2=∠3，∠3=∠4，

∴∠2=∠4．

∵AB是直徑，

∴CE⊥AE，

∵CM⊥AF，CM=4，

∴CE=CM=4，

∵BE=6，

∴AB=BC=BE+EC=10．

在Rt△ABE中，

【解析】（1）首先連接BD，由AB為直徑，可得∠ADB=90°，然后由等角的余角相等，證得∠1=∠2，繼而證得結論；（2）由圓周角定理，易證得∠2=∠4，又由AB為直徑，CM⊥AF，可求得CE=CM=4，繼而求得AB的長，則可求得答案．
【考點精析】關于本題考查的切線的性質定理，需要了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能得出正確答案．