Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA＝AB＝2，OC＝3，過點(diǎn)B作BD⊥BC，交OA于點(diǎn)D．將∠DBC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點(diǎn)E和F．

（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）當(dāng)BE經(jīng)過(1)中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求CF的長；
（3）在拋物線的對稱軸上取兩點(diǎn)P、Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方），且PQ＝1，要使四邊形BCPQ的周長最小，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）；（2）；（3）（1，）．

試題分析：（1）先根據(jù)題意得到點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得結(jié)果；
（2）先把（1）中的函數(shù)關(guān)系式配方為頂點(diǎn)式，即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，過G作GH⊥AB，垂足為H．即可得到AH＝BH＝1，GH＝－2＝．由EA⊥AB，GH⊥AB，可得GH是△BEA的中位線，從而可得EA＝3GH＝．過B作BM⊥OC，垂足為M．MB＝OA＝AB．由∠EBF＝∠ABM＝90°，可得∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF．即可證得Rt△EBA≌Rt△FBM．再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；
（3）要使四邊形BCPQ的周長最小，可將點(diǎn)C向上平移一個(gè)單位，再做關(guān)于對稱軸對稱的對稱點(diǎn)C₁，得點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（－1，1）．可求出直線BC₁的解析式為．再求的直線與對稱軸x＝1的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，坐標(biāo)為（1，）．從而得到結(jié)果．
（1）由題意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.
設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+2.
則解得   
∴；
（2）由＝．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為G（1，）．
過G作GH⊥AB，垂足為H．
則AH＝BH＝1，GH＝－2＝．
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH．
∴GH是△BEA的中位線 ．
∴EA＝3GH＝．
過B作BM⊥OC，垂足為M ．
則MB＝OA＝AB．
∵∠EBF＝∠ABM＝90°，
∴∠EBA＝∠FBM＝90^°－∠ABF．
∴Rt△EBA≌Rt△FBM．
∴FM＝EA＝．
∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，
∴CF＝FM＋CM＝；
（3）要使四邊形BCPQ的周長最小，可將點(diǎn)C向上平移一個(gè)單位，再做關(guān)于對稱軸對稱的對稱點(diǎn)C₁，得點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（－1，1）．可求出直線BC₁的解析式為． 
直線與對稱軸x＝1的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，坐標(biāo)為（1，）．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）．
點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.