Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，過A，B，C三點在三角形內分別作∠1＝∠2＝∠3，三個角的邊相交于D，E，F，

（1）你認為△DEF是什么三角形？并證明你的結論；

（2）當∠1，∠2，∠3三個角同時逐漸增大仍保持相等時，△DEF會發生什么變化？試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△DEF是等邊三角形，見解析；（2）△DEF先變小，再變為一點，再逐漸變大；見解析

【解析】

（1）利用ASA證明△ABD≌△BCE,△BCE≌△CAF，得出∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，證出∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，即可得出△DEF是等邊三角形；

（2）通過分析等邊三角形的邊長即可得出它的變化情況，分三種情況：當時，△DEF逐漸變小；當∠1＝30°時，△DEF變為一點；當，△DEF逐漸變大．

解：（1）△DEF是等邊三角形，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠CBA＝∠ACB＝60°，

∵∠1＝∠2＝∠3，

∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF，

在△ABD和△BCE中， ，

∴△ABD≌△BCE（ASA），

∴∠ADB＝∠BEC，

在△BCE和△CAF中， ，

∴△BCE≌△CAF（ASA），

∴∠BEC＝∠CFA，

∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，

∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，

∴△DEF是等邊三角形；

（2）△DEF先變小，再變為一點，再逐漸變大；理由如下：

當∠1，∠2，∠3三個角或時，△DEF均為等邊三角形；

∵△ABD≌△BCE，△BCE≌△CAF

∴

當∠1，∠2，∠3三個角在范圍內同時逐漸增大仍保持相等時，

BD,CE,EF逐漸增大，所以等邊三角形的邊長逐漸變��；

∴當時，△DEF逐漸變小；

當∠1＝30°時，△DEF變為一點；

由（1）可知△ABE≌△BCF，△BCF≌△ADC

∴

當∠1，∠2，∠3三個角在范圍內同時逐漸增大仍保持相等時，

AE,BF,CD逐漸減小，所以等邊三角形的邊長逐漸變大；

∴當時，△DEF逐漸變大．