Question

【題目】在圖中，正方形AOBD的邊AO，BO在坐標軸上，若它的面積為16，點M從O點以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向運動，當M到達B點時，運動停止．連接AM，過M作AM⊥MF，且滿足AM=MF，連接AF交BD于E點，過F作FN⊥x軸于N，連接ME．設點M運動時間為t（s）．

（1）直接寫出點D和M的坐標（可用含t式子表示）；
（2）當△MNF面積為 時，求t的值；
（3）△AME能否為等腰三角形？若不能請說明理由；若能，求出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵正方形AOBD的面積為為16，

∴正方形的邊長為4，即OB=BD=4．

∴D（4，4）．

∵OM=t，點M在x軸上，

∴M（t，0）

（2）

解：∵AM⊥MF，

∴∠AMF=90°．

∴∠AMO+∠FMN=90°．

又∵∠OAM+∠AMO=90°，

∴∠OAM=∠FMN．

在△AMO于△MFN中， ，

∴△AMO≌△MFN（AAS）．

∴OM=FN，OA=MN．

∴ AOOM= MNFN= ， ×4×t= ，解得：t=

（3）

解：①∵△AMF為等腰直角三角形，

∴MF=AM≠ME．

∴AM=EM這種情況不成立．

②當AE=ME時．

∵△AMF為等腰直角三角形，

∴∠MAE=45°．

∵AE=ME，

∴∠MAE=∠AME=45°．

∴∠AEM=90°．

∴∠AED+∠MEB=90°．

又∵∠AED+∠EAD=90°，

∴∠MEB=∠EAD．

在△MEB和△EDA中 ，

∴△MEB≌△EAD（AAS）．

∴BE=AD．

∴點B與點D重合，點M與點B重合．

∴t=4．

③當AM=AE時，如圖所示：連接AB交ME于點H．

∵在Rt△AOM和Rt△ADE中， ，

∴Rt△AOM≌△Rt△ADE．

∴DE=OM=t，∠MAO=∠DAE=22.5°．

∵四邊形AOBD為正方形，

∴∠BAO=∠DAB=45°．

∴∠MAH=∠EAH=22.5°．

∴∠MAH=∠EAH=∠OAM=∠DAE=22.5°．

∴AH⊥ME．

∴MO=MH=t，HE=DE=t．

∴ME=MH+HE=2t．

∵MB=BE=4﹣t，由勾股定理得：ME2=MB2+BE2，即2（4﹣t）2=4t2．

解得：t=4 ﹣4，t=﹣4﹣4 （舍去）．

綜上所述，當t=4或y=4 ﹣4時，△AME為等腰三角形．

【解析】（1）由正方形的面積可求得正方形的邊長，從而可得到點D的坐標，由題意可知OM=t，且M在x軸上，故此可得到點M的坐標；（2）先依據AAS證明△AMO≌△MFN，從而得到OM=FN，OA=MN，接下來由三角形的面積公式可求得OM的長，從而得到t得值；（3）可分為AM=EM、AE=ME、AM=AE三種情況．其中AM=EM的情況不成立；當AE=ME時，可依據AAS證明△MEB≌△EAD，從而得到BE=AD，于是可得到M與點B重合從而求得t的值；當AM=AE時，可證明MO=MH=HE=DE，從而可求得ME=2t，MB=4﹣t，然后在△MBE中依據勾股定理列出關于t的方程，從而可取得t的值．
【考點精析】通過靈活運用全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等即可以解答此題．