Question

【題目】模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．

（1）求證：△BEC≌△CDA；

（2）模型應用：

①已知直線l1：y＝－x－4與y軸交于A點，將直線l1繞著A點逆時針旋轉45°至l2，如圖2，求l2的函數解析式；

②如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為（8，－6），A、C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，設PC＝m，已知點D在第四象限，且是直線y＝－2x＋6上的一點，若△APD是不以點A為直角頂點的等腰Rt△，請求出點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①y=x-4，②（4，-2），（），（）.

【解析】

試題分析：（1）由AAS定理可證△ACD≌△CBE；（2）過點B作BC⊥AB于點B，交l2于點C，過C作CD⊥x軸于D，則△ABC為等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性質得出C點坐標，利用待定系數法求出直線l2的函數解析式即可；（3）當點D為直角頂點，分點D在矩形AOCB的內部與外部兩種情況；點P為直角頂點，顯然此時點D位于矩形AOCB的外部，由此可得出結論．

試題解析：（1）證明：∵△ABC為等腰直角三角形，∴CB＝CA，又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°，又∵∠EBC＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD與△CBE中，，∴△ACD≌△EBC（AAS）.（2）解：如圖1，過點B作BC⊥AB于點B，交l2于點C，過C作CD⊥x軸于D，∵∠BAC＝45°，∴△ABC為等腰Rt△，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直線l1：y＝－x－4，∴A（0，－4），B（－3，0），∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4＋3＝7，∴C（－7，－3），設l2的解析式為y＝kx＋b（k≠0），∴∴ .

∴l2的解析式：y＝－x－4.

（3）當點D位于直線y=2x-6上時，分兩種情況：如圖2，①點D為直角頂點，分兩種情況：當點D在矩形AOCB的內部時，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設D（x，2x-6）；則OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；則△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：12-2x=8-x，x=4；∴D（4，2）；

當點D在矩形AOCB的外部時，設D（x，2x-6）；則OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；

同1可知：△ADE≌△DPF，∴AE=DF，即：2x-12=8-x， x=，∴D（）

②點P為直角頂點，顯然此時點D位于矩形AOCB的外部；設點D（x，2x-6），則CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；

同（1）可得，△APB≌△BDF，∴AB=PF=8，PB=DF=x-8；∴BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x；聯立兩個表示BF的式子可得：2x-12=16-x，即x=，∴D（）.

綜上所述，點D坐標為（4，-2）或（）或（）.