Question

（2012•阜新）在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+bx+2的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求這個二次函數的關系解析式；
（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
考生注意：下面的（3）、（4）、（5）題為三選一的選做題，即只能選做其中一個題目，多答時只按作答的首題評分，切記啊！
（3）在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
（4）點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于x軸，垂足為E．是否存在點Q，使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
（5）點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）關鍵是求出△ACP面積的表達式，然后利用二次函數求極值的方法，求出△ACP面積的最大值；
（3）如圖（3）所示，以BC為邊，在線段BC兩側分別作正方形，正方形的其他四個頂點均可以使得“△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形”，因此有四個點符合題意要求；
（4）如圖（4）所示，若以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似，有兩種情況，需要分類討論，不要漏解；
（5）以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，有四種情況，分別如圖（5）a、圖（5）b所示，注意不要漏解．

解答：解：（1）由拋物線y=ax²+bx+2過點A（-3，0），B（1，0），則

0=9a-3b+2 0=a+b+2

解這個方程組，得a=-

2

3

，b=-

4

3

．
∴二次函數的關系解析式為y=-

2

3

x²-

4

3

x+2．

（2）設點P坐標為（m，n），則n=-

2

3

m²-

4

3

m+2．
連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．
PM=-

2

3

m²-

4

3

m+2，PN=-m，AO=3．
當x=0時，y=-

2

3

×0-

4

3

×0+2=2，所以OC=2
S_△PAC=S_△PAO+S_△PCO-S_△ACO
=

1

2

AO•PM+

1

2

CO•PN-

1

2

AO•CO
=

1

2

×3•（-

2

3

m²-

4

3

m+2）+

1

2

×2•（-m）-

1

2

×3×2
=-m²-3m
∵a=-1＜0
∴函數S_△PAC=-m²-3m有最大值
當m=-

b

2a

=-

3

2

時，S_△PAC有最大值．
此時n=-

2

3

m²-

4

3

m+2=-

2

3

×(-

3

2

)2-

4

3

×(-

3

2

)+2=

5

2

∴存在點P（-

3

2

，

5

2

），使△PAC的面積最大．

（3）如圖（3）所示，以BC為邊在兩側作正方形BCQ₁Q₂、正方形BCQ₄Q₃，則點Q₁，Q₂，Q₃，Q₄為符合題意要求的點．
過Q₁點作Q₁D⊥y軸于點D，易證△Q₁CD≌△CBO，
∴Q₁D=OC=2，CD=OB=1，∴OD=OC+CD=3，∴Q₁（2，3）；
同理求得Q₂（3，1），Q₃（-1，-1），Q₄（-2，1）．
∴存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形．Q點坐標為：Q₁（2，3），Q₂（3，1），Q₃（-1，-1），Q₄（-2，1）．

（4）如圖（4）所示，設E（n，0），則BE=1-n，QE=-

2

3

n²-

4

3

n+2．
假設以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似，則有兩種情況：
①若△AOC∽△BEQ，則有：

QE

OC

=

BE

OA

，
即

- 2 3 n2- 4 3 n+2

2

=

1-n

3

，化簡得：n²+n-2=0，
解得n₁=-2，n₂=1（與B重合，舍去），∴n=-2，QE=-

2

3

n²-

4

3

n+2=2．
∴Q（-2，2）；
②若△AOC∽△BQE，則有：

QE

OA

=

BE

OC

，
即

- 2 3 n2- 4 3 n+2

3

=

1-n

2

，化簡得：4n²-n-3=0，
解得n₁=-

3

4

，n₂=1（與B重合，舍去），∴n=-

3

4

，QE=-

2

3

n²-

4

3

n+2=

21

8

．
∴Q（-

3

4

，

21

8

）．
綜上所述，存在點Q，使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似．
Q點坐標為（-2，2）或（-

3

4

，

21

8

）．

（5）假設存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．
①若CM平行于x軸，如圖（5）a所示，有符合要求的兩個點Q₁，Q₂，此時Q₁A=Q₂A=CM．
∵CM∥x軸，∴點M、點C（0，2）關于對稱軸x=-1對稱，
∴M（-2，2），∴CM=2．
由Q₁A=Q₂A=CM=2，得到Q₁（-5，0），Q₂（-1，0）；
②若CM不平行于x軸，如圖（5）b所示．過點M作MG⊥x軸于G，
易證△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即y_M=-2．
設M（x，-2），則有-

2

3

x²-

4

3

x+2=-2，解得x=-1±

7

．
又QG=3，∴x_Q=x_G+3=2±

7

，
∴Q₃（2+

7

，0），Q₄（2-

7

，0）．
綜上所述，存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形．Q點坐標為：Q₁（-5，0），Q₂（-1，0），Q₃（2+

7

，0），Q₄（2-

7

，0）．
注：解答中給出（3）（4）（5）問解題過程，只是為了同學們易于理解，原題并未要求．

點評：本題是二次函數壓軸題，綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、二次函數極值、全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等重要知識點，難度較大，對考生能力要求較高．本題核心是存在性問題，第（3）（4）（5）問均涉及點的存在性，注意認真分析，在多種情況時需要分類討論；另外注意求點坐標的方法，全等三角形與相似三角形在其中發揮重要作用，需要認真體會．