Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與坐標軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c過A，B兩點，點D為線段AB上一動點，過點D作CD⊥x軸于點C，交拋物線于點E．

（1）求拋物線的解析式．
（2）求△ABE面積的最大值．
（3）連接BE，是否存在點D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出點D坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在直線解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0，4）．

∵點A（﹣4，0），B（0，4）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，

∴ ，

解得：b=﹣3，c=4，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4

（2）解：如圖，連接AE、過點E作EF⊥y軸于點F，

設點C坐標為（m，0）（m＜0），則點E坐標為（m，﹣m2﹣3m+4），

則OC=﹣m，OF=﹣m2﹣3m+4，

∵OA=OB=4，

∴BF=﹣m2﹣3m，

則S△ABE=S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF

= ×（﹣m+4）（﹣m2﹣3m+4）﹣ ×4×4﹣ ×（﹣m）×（﹣m2﹣3m）．

=﹣2m2﹣8m

=﹣2（m+2）2+8，

∵﹣4＜m＜0，

∴當m=﹣2時，S取得最大值，最大值為8．

即△ABE面積的最大值為8

（3）解：設點C坐標為（m，0）（m＜0），則OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD= OC=﹣ m，

則D（m，4+m）．

∵△ACD為等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似

∴△DBE必為等腰直角三角形．

i）若∠BED=90°，則BE=DE，

∵BE=OC=﹣m，

∴DE=BE=﹣m，

∴CE=4+m﹣m=4，

∴E（m，4）．

∵點E在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上，

∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=﹣3，

∴D（﹣3，1）；

ii）若∠EBD=90°，則BE=BD=﹣ m，

在等腰直角三角形EBD中，DE= BD=﹣2m，

∴CE=4+m﹣2m=4﹣m，

∴E（m，4﹣m）．

∵點E在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上，

∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=﹣2，

∴D（﹣2，2）．

綜上所述，存在點D，使得△DBE和△DAC相似，點D的坐標為（﹣3，1）或（﹣2，2）

【解析】（1）根據線y=x+4與坐標軸分別交于A，B兩點，得到A，B的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）根據題意求出點C、點E的坐標，得到S△ABE=S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF，求出當m=﹣2時，S取得最大值，最大值為8，得到△ABE面積的最大值為8；（3）根據題意求出點C坐標與點D坐標的關系，得到E點坐標，由點E在拋物線上，求出D點坐標，得到存在點D，使得△DBE和△DAC相似.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定的相關知識點，需要掌握相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）才能正確解答此題．