Question

【題目】如圖，△ABC的中線AD、BE、CF相交于點G，H、I分別是BG、CG的中點．

（1）求證：四邊形EFHI是平行四邊形；

（2）①當AD與BC滿足條件 時，四邊形EFHI是矩形；

②當AD與BC滿足條件 時，四邊形EFHI是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①AD⊥BC；②2AD=3BC

【解析】試題分析：（1）證出EF、HI分別是△ABC、△BCG的中位線，根據三角形中位線定理可得EF∥BC且EF=BC，HI∥BC且PQ=BC，進而可得EF∥HI且EF=HI．根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結論；

（2）①由三角形中位線定理得出FH∥AD，再證出EF⊥FH即可；

②與三角形重心定理得出AG=AD，證出AG=BC，由三角形中位線定理和添加條件得出FH=EF，即可得出結論．

試題解析：（1）證明：∵BE，CF是△ABC的中線，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC且EF=BC．

∵H、I分別是BG、CG的中點．，∴HI是△BCG的中位線，∴HI∥BC且HI=BC，∴EF∥HI且EF=HI，∴四邊形EFHI是平行四邊形．

（2）解：①當AD與BC滿足條件 AD⊥BC時，四邊形EFHI是矩形；理由如下：

同（1）得：FH是△ABG的中位線，∴FH∥AG，FH=AG，∴FH∥AD，∵EF∥BC，AD⊥BC，∴EF⊥FH，∴∠EFH=90°，∵四邊形EFHI是平行四邊形，∴四邊形EFHI是矩形；

故答案為：AD⊥BC；

②當AD與BC滿足條件BC=AD時，四邊形EFHI是菱形；理由如下：

∵△ABC的中線AD、BE、CF相交于點G，∴AG=AD，∵BC=AD，∴AG=BC，∵FH=AG，EF=BC，∴FH=EF，又∵四邊形EFHI是平行四邊形，∴四邊形EFHI是菱形；

故答案為：2AD=3BC．