Question

【題目】已知□ABCD中，直線m繞點A旋轉，直線m不經過B、C、D點，過B、C、D分別作BE⊥m于E， CF⊥m于F， DG⊥m于G．

（1）當直線m旋轉到如圖1位置時，線段BE、CF、DG之間的數量關系是 _；

（2）當直線m旋轉到如圖2位置時，線段BE、CF、DG之間的數量關系是 _；

（3）當直線m旋轉到如圖3的位置時，線段BE、CF、DG之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：

（1）如圖1，過C作CM⊥DG，交DG的延長線于點M，

∵DM⊥CM，CF⊥AF，CM⊥DG，

∴∠DMC=∠CFG=∠AEB=90°，

∴四邊形GFCM為矩形，

∴FG∥CM，FC=GM，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴CD=AB，CD∥AB，

∴∠DOG=∠BAE=∠DCM，

在△CDM和△ABE中

∴△CDM≌△ABE（AAS），

∴DM=BE，

∴BE=DG+GM=CF+DG，

故答案為：BE=CF+DG；

（2）如圖2，過D作DN⊥CF，交CF于點N，延長CD交AF于點P，

∵DG⊥AF，CF⊥AF，

∴四邊形DGFN為矩形，

∴ND∥AF，且DG=NF，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD，且AB∥CD，

∴∠CDN=∠DPG=∠BAE，

在△CDN和△BAE中

∴△CDN≌△BAE（AAS），

∴CN=BE，

∴CF=CN+DF=BE+DG，

故答案為：CF=BE+DG；

（3）猜想：DG=BE+CF；

證明：如圖3，過C作CH⊥DG于H，

又∵CF⊥m，DG⊥m，

∴四邊形CFGH是矩形，

∴CF=HG，

∵DG⊥m，BE⊥m，

∴∠DGE=∠BEG=90°，

∴DG∥BE，

∴∠ABE=∠AMG

∵□ABCD，

∴AD∥BC，CD=AB，

∴∠CDH=∠AMG，

∴∠CDH=∠ABE，

在△CDH和△ABE中

∴△CDH≌△ABE（AAS），

∴DH=BE，

∴DG=DH+HG=BE+CF，

∴DG=BE+CF．