Question

【題目】我們知道，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．對一個各條邊都相等的凸多邊形（邊數大于3），可以由若干條對角線相等判定它是正多邊形．例如，各條邊都相等的凸四邊形，若兩條對角線相等，則這個四邊形是正方形．

（1）已知凸五邊形的各條邊都相等．

①如圖1，若，求證：五邊形是正五邊形；

②如圖2，若，請判斷五邊形是不是正五邊形，并說明理由：

（2）判斷下列命題的真假．（在括號內填寫“真”或“假”）

如圖3，已知凸六邊形的各條邊都相等．

①若，則六邊形是正六邊形；（　 　）

②若，則六邊形是正六邊形． （　 　）

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析②若，五邊形是正五邊形（2）①真命題②真命題

【解析】

（1）①用SSS證明，得到，即可得證；

②先證，再證明，再根據四邊形的內角和與平行的性質證得即可得證；

（2）①先證，設，，根據x,y的等量關系求出，，從而求出，故可得到結論；

②連接、、，先證，再證，得到，再由①可得出結論.

（1）①證明：∵凸五邊形的各條邊都相等，

∴，

在、、、、中，，

∴，

∴，

∴五邊形是正五邊形；

②解：若，五邊形是正五邊形，理由如下：

在、和中，，

∴，

∴，，

在和中，，

∴，

∴，，

∵四邊形內角和為，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

同理：，

∴五邊形是正五邊形；

（2）解：①若，如圖3所示：

則六邊形是正六邊形；真命題；理由如下：

∵凸六邊形的各條邊都相等，

∴，

在、和中，，

∴，

∴，，

∵，

∴，

設，，

則①，②，

①+②得：，

∴，，

∴，，

∴，

∴，

∴六邊形是正六邊形；

故答案為：真；

②若，則六邊形是正六邊形；真命題；理由如下：

如圖4所示：連接、、，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

同理：，

∴，

由①得：六邊形是正六邊形；

故答案為：真．