Question

如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為M（2，0），直線y=x+2與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中點A在y軸上，P為線段AB上一動點（除A，B兩端點外），過P作x軸的垂線與二次函數的圖象交于點Q設線段PQ的長為l，點P的橫坐標為x．
（1）求二次函數的解析式；
（2）求l與x之間的函數關系式，并求出l的取值范圍；
（3）線段AB上是否存在一點P，使四邊形PQMA為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據直線的解析式求出A點的坐標，然后根據M點的坐標，用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式，將A點的坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．
（2）根據直線y=x+2的解析式求出A點的坐標，根據A、B的坐標求出拋物線的解析式，由PQ⊥x軸得P、Q的橫坐標為x，最后用縱坐標的差表示出來就可．根據A、B兩點的總坐標就可以求出取值范圍；
（3）過點M作MQ∥AB交拋物線于點Q，連接AM，作PQ∥y軸于點P，過M作MD∥PQ，MD交AB于N，得出四邊形PQMD為平行四邊形，可以求出MD的長度，從而求出P點的坐標；

解答：解：（1）依題意，設二次函數的解析式為y=a（x-2）²，
由于直線y=x+2與y軸交于（0，2），
∴x=0，y=2
滿足y=a（x-2）²，于是求得a=

1

2

，
二次函數的解析式為y=

1

2

（x-2）²；

（2）∵PQ⊥x軸且橫坐標為x，
∴l=（x+2）-

1

2

（x-2）²=-

1

2

x²+3x，
由

y=x+2 y= 1 2 (x-2)2

得點B的坐標為B（6，8），
∵點p在線段AB上運動，
∴0＜x＜6．
∵l=-

1

2

x2+3x=-

1

2

(x-3)2+

9

2

，
∴當x=3時，l最大=

9

2

．
∴0＜l＜

9

2

；

（3）作MQ∥AP．過M作MD∥PQ，MD交AB于N，
則四邊形PQMD為平行四邊形．
∴MD=PQ，∵M（2，0），∴D（2，4），∴MD=4．
∴PQ=-

1

2

x2+3x=MD=4．
∴x²-6x+8=0，∴x₁=2，x₂=4．
∵2＜x＜6，∴x=4．
∴P（4，6），Q（4，2）．
即P點的坐標為：（4，6）

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點、梯形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．