Question

【題目】已知a、b、c為三角形的三邊，求證：方程a2x2(a2+c2b2)x+c2=0沒有實(shí)數(shù)根.

Answer 1

【答案】詳見解析．

【解析】

將根的判別式△=(a2+c2b2)24a2c2運(yùn)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行變形，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可以得到△＜0.

解：∵a，b，c為△ABC的三邊長，

∴a2≠0．

∴△=(a2+c2b2)24a2c2

=(a2+c2b2+2ac)(a2+c2b22ac)

=[(a+c)2b2][(ac)2b2]，

=(a+b+c)(a+cb)(ac+b)(acb)，

又∵三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

∴a+b+c >0， a+cb >0， ac+b >0， acb <0，

∴(a+b+c)(a+cb)(ac+b)(acb)<0

∴△＜0，∴原方程沒有實(shí)數(shù)根．