Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一點M，N，使△AMN周長最小，則∠AMN+∠ANM的角度為________．

Answer 1

【答案】140°

【解析】

作點A關于BC的對稱點A′，關于CD的對稱點A″，根據軸對稱確定最短路線問題，連接A′A″與BC、CD的交點即為所求的點M、N，利用三角形的內角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根據軸對稱的性質和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），然后計算即可得解．

如圖，作點A關于BC的對稱點A′，關于CD的對稱點A″，連接A′A″與BC、CD的交點即為所求的點M、N．

∵∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣110°＝70°，由軸對稱的性質得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×70°＝140°．

故答案為：140°．