Question

【題目】平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+2過點A（﹣3，0）、B （1，0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，點G在拋物線上且其縱坐標為2．
（1）a= ， b= ， D（ ， ）．
（2）P是線段AB上一動點（點P不與A、B重合），點P作x軸的垂線交拋物線于點E．
①若PE=PB，試求E點坐標；
②在①的條件下，PE、DG交于點M，在線段PE上是否存一點N，使得△DMN與△DCO相似？若存在，試求出相應點的坐標；
③在①的條件下，點F是坐標軸上一點，且點F到EC、ED的距離相等，試直接寫出EF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）﹣ ；﹣ ；﹣1；
（2）

①設P（x，0），則E（x，﹣ x2﹣ x+2），則PB=1﹣x，PE=﹣ x2﹣ x+2．

∵PE=PB，

∴﹣ x2﹣ x+2=1﹣x．

∴x1=1（舍去），x2=﹣ ．

當x=﹣ ，函數值y= ．

∴E（﹣ ， ）．

②存在點N（﹣ ， ），理由如下：過點G作GH⊥x軸，垂足為H，連結DH．

把y=2代入拋物線的解析式得：2=﹣ x2﹣ x+2，解得x=0或x=﹣2．

∴G（﹣2，2）．

拋物線的對稱軸為x=﹣1，

∵GH⊥x軸，

∴H（﹣2，0）．

∴△DOC與△DHG關于直線x=﹣1對稱．

∴要使DMN與△DCO相似，只需△DMN與△DGH相似．

∵MN∥GH，

∴△DMN∽△DGH．

設直線DH的解析式為y=kx+b，將點H和點D的坐標代入得： ，

解得：k= ，b= ．

∴直線DH的解析式為y= x+ ．

將x=﹣ 代入得：y= ．

∴N（﹣ ， ）．

③如圖2所示：過點E作EF⊥y軸，交拋物線的對稱軸與點G，則G（﹣1， ）過點E作EF′⊥x垂足為F′．

設直線EC的解析式為y=mx+n將點E和點C的坐標代入得： ，

解得：m=﹣ ，n=2．

∴直線EC的解析式為y= x+2．

當x=﹣1時，y= ．

∴DG=GM．

∴點M與點D關于EF對稱．

∴EF是∠DEC的角平分線．

∴點F到點F到EC、ED的距離相等．

∴EF= ．

∵EF′⊥x垂足為F′．

∴∠FEF′=90°，

∴∠DEF+∠HEF′=90°，∠FEC+∠CEF′=90°．

又∵∠DEF=∠FEC，

∴∠HEF′=∠CEF′．

∴EF′是∠HEC的平分線，

∴點F′到DE和EC的距離相等．

∴EF′= ．

綜上所述，EF的長為 或 ．

【解析】解：（1）把x=0代入拋物線的解析式得：y=2，
∴C（0，2）．
設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），將點C的坐標代入得﹣3a=2，解得：a=﹣ ．
∴拋物線的解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣1）=﹣ x2﹣ x+2．
∴b=﹣ ．
∴x=﹣ =﹣1．
當x=﹣1時，y= ．
∴D（﹣1， ）．
所以答案是：﹣ ；﹣ ；﹣1， ．