Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是正方形，△AEF是等邊三角形，E，F分別位于DC邊和BC邊上．

（1）求∠DAE的度數；
（2）若正方形ABCD的邊長為1，求等邊三角形AEF的面積；
（3）將△AEF繞著點E逆時針旋轉m（0＜m＜180）度，使得點A落在正方形ABCD的邊上，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，AF=AE，∠B=∠D=90°，

在Rt△ABF與Rt△ADE， ，

∴Rt△ABF≌Rt△ADE，

∴∠DAE=∠BAF

又∠DAE+∠BAF=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣60°=30°

∴∠DAE=15°；

（2）解：設BF=x，由（1）可知DE=BF=x，則CF=CE=1﹣x

∴AB2+BF2=AF2，CF2+CE2=EF2，AF=EF，
即：12+x2=2（1﹣x）2

∴x1=2+ ，x2=2 ，

∵0＜x＜1，

∴x1=2+ （舍去），x=2 ，

∴S△AEF=S四邊形ABCD﹣2S△ABF﹣S△EFC=12﹣2× 1×（2﹣ ）﹣ （ ﹣1）2=2 ﹣3；

（3）解：依題意，點A可落在AB邊上或BC邊上．

①當點A落在AB邊上時，設此時點A的對應點為M，則EA=EM，

∵∠EAB=75°，

∴∠AME=75°，

∴m=∠AEM=180°﹣75°﹣75°=30°，

②當點A落在邊BC上時，

∵EA=EF，點A旋轉后與點F重合，

∴m=∠AEF=60°，

綜上，m=30°或m=60°．

【解析】（1）由正方形性質得AB=AD，AF=AE，∠B=∠D=90°，再根據直角三角形的判定得Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），由全等三角形的性質得∠DAE=∠BAF，由等邊三角形和正方形的性質得∠DAE的度數.
（2）設BF=x，由（1）知DE=BF=x，則CF=CE=1﹣x，由勾股定理得AB2+BF2=AF2，CF2+CE2=EF2，AF=EF，即12+x2=2（1﹣x）2（0＜x＜1），
求出x=2 ，再由S△AEF=S四邊形ABCD﹣2S△ABF﹣S△EFC求出即可.
（3）依題分兩種情況來分析：①當點A落在AB邊上時，設此時點A的對應點為M，則EA=EM；②當點A落在邊BC上時；根據旋轉的性質和三角形內角和定理即可求出答案.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的面積的相關知識，掌握三角形的面積=1/2×底×高，以及對等邊三角形的性質的理解，了解等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．