Question

【題目】如圖，在正方形中，對角線與相交于點，平分，交于點．

求證：；

點、點分別同時從、兩點出發，以相同的速度運動相同的時間后同時停止，如圖，平分，交于點，過點作，垂足為，請猜想，與三者之間的數量關系，并證明你的猜想；

在的條件下，當，時，求的長．

Answer 1

【答案】證明見解析； ；．

【解析】

（1）過作于，根據角平分線的性質可以得到OF=FG，然后利用正方形的性質可以得到條件證明Rt△AOF≌Rt△AGF，再根據全等三角形的性質與等腰直角三角形的性質可以證明題目結論．（2）過作，過作，可知四邊形是矩形，根據，可知四邊形是正方形，進而得：，所以是三角形的內心，根據內心的性質即可求出答案.（3）由F1是內心，E1、G1、H1是切點可知，可求出，根據勾股定理求出AB的長，即可求出BD的長.

過作于，

∵平分，，，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

直角三角形中，，

∴，

∴，

∴．

過作，過作，則四邊形是矩形．

由可得，因此四邊形是正方形．

∴，

即：是三角形的內心，

∴EF1=（A1B+BC1-A1C1） 2…①

∵，而，

∴，

因此①式可寫成：，

即 AB-EF1=A1C

解：由得，是三角形的內心，且、、都是切點．

∴，

如果設，

，

∴，

在直角三角形中，根據勾股定理有，

即：，

解得，

∴．