Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（0，4），點B的坐標為（4，0），點C的坐標為（﹣4，0），點P在射線AB上運動，連結CP與y軸交于點D，連結BD．過P，D，B三點作⊙Q與y軸的另一個交點為E，延長DQ交⊙Q于點F，連結EF，BF．

（1）求直線AB的函數解析式；
（2）當點P在線段AB（不包括A，B兩點）上時．
①求證：∠BDE=∠ADP；
②設DE=x，DF=y．請求出y關于x的函數解析式；
（3）請你探究：點P在運動過程中，是否存在以B，D，F為頂點的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時點P的坐標：如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設直線AB的函數解析式為y=kx+4，

代入（4，0）得：4k+4=0，

解得：k=﹣1，

則直線AB的函數解析式為y=﹣x+4

（2）

解：①由已知得：

OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，

又∵OD=OD，

∴△BDO≌△CDO，

∴∠BDO=∠CDO，

∵∠CDO=∠ADP，

∴∠BDE=∠ADP，

②連結PE，

∵∠ADP是△DPE的一個外角，

∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一個外角，

∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，

∴∠DPE=∠OAB，

∵OA=OB=4，∠AOB=90°，

∴∠OAB=45°，

∴∠DPE=45°，

∴∠DFE=∠DPE=45°，

∵DF是⊙Q的直徑，

∴∠DEF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DF= DE，即y= x

（3）

解：當BD：BF=2：1時，

過點F作FH⊥OB于點H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，

∴∠DBO=∠BFH，

又∵∠DOB=∠BHF=90°，

∴△BOD∽△FHB，

∴ =2，

∴FH=2，OD=2BH，

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，

∴四邊形OEFH是矩形，

∴OE=FH=2，

∴EF=OH=4﹣ OD，

∵DE=EF，

∴2+OD=4﹣ OD，

解得：OD= ，

∴點D的坐標為（0， ），

∴直線CD的解析式為y= x+ ，

由 得 ，

則點P的坐標為（2，2）；

當 = 時，

連結EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，

而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，

∵∠DEB=∠DPA，

∴∠DBE=∠DAP=45°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

過點F作FG⊥OB于點G，

同理可得：△BOD∽△FGB，

∴ = ，

∴FG=8，OD= BG，

∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，

∴四邊形OEFG是矩形，

∴OE=FG=8，

∴EF=OG=4+2OD，

∵DE=EF，

∴8﹣OD=4+2OD，

OD= ，

∴點D的坐標為（0，﹣ ），

直線CD的解析式為：y=﹣ x﹣ ，

由 得： ，

∴點P的坐標為（8，﹣4），

綜上所述，點P的坐標為（2，2）或（8，﹣4）．

【解析】（1）設直線AB的函數解析式為y=kx+4，把（4，0）代入即可；（2）①先證出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根據∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，②先連結PE，根據∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再證出∠DFE=∠DPE=45°，最后根據∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，從而求出DF= DE，即y= x；（3）當 =2時，過點F作FH⊥OB于點H，則∠DBO=∠BFH，再證出△BOD∽△FHB， =2，得出FH=2，OD=2BH，再根據∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四邊形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4﹣ OD，根據DE=EF，求出OD的長，從而得出直線CD的解析式為y= x+ ，最后根據 求出點P的坐標即可；當 = 時，連結EB，先證出△DEF是等腰直角三角形，過點F作FG⊥OB于點G，同理可得△BOD∽△FGB， = ，得出FG=8，OD= BG，再證出四邊形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直線CD的解析式，最后根據 即可求出點P的坐標．