Question

【題目】將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉θ度，并使各邊長變為原來的n倍，得△AB′C′，即如圖①，我們將這種變換記為[θ，n]．

（1）如圖①，對△ABC作變換[60°， ]得△AB′C′，則S△AB′C′：S△ABC=；直線BC與直線B′C′所夾的銳角為度；
（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對△ABC 作變換[θ，n]得△AB′C′，使點B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB'C'為矩形，求θ和n的值；
（3）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，對△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB′C′為平行四邊形，求θ和n的值．

Answer 1

【答案】
（1）3：1；60
（2）

解：∵四邊形ABB′C′是矩形，

∴∠BAC′=90°．

∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90﹣30=60°．

在 Rt△ABB′中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，

∴∠AB′B=30°，

∴n= =2

（3）

解：∵四邊形ABB′C′是平行四邊形，

∴AC′∥BB′，

又∵∠BAC=36°，

∴θ=∠CAC′=∠AC′B′=72°．

∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B，

∴△ABC∽△B′BA，

∴AB：BB′=CB：AB，

∴AB2=CBBB′=CB（BC+CB′），

而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，

∴AB2=1（1+AB），

∴AB= ，

∵AB＞0，

∴n= = ．

【解析】解：（1）根據題意得：△ABC∽△AB′C′，
∴S△AB′C′：S△ABC=（ ）2=（ ）2=3，∠B=∠B′，
∵∠ANB=∠B′NM，
∴∠BMB′=∠BAB′=60°；
所以答案是：3：1，60；

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．