Question

【題目】如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y= （x＞0）的圖象交于點P（n，2），與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點C，PB⊥x軸于點B，點A與點B關于y軸對稱．

（1）求一次函數，反比例函數的解析式；
（2）求證：點C為線段AP的中點；
（3）反比例函數圖象上是否存在點D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，說明理由并求出點D的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A與點B關于y軸對稱，

∴AO=BO，

∵A（﹣4，0），

∴B（4，0），

∵PB⊥x軸于點B，

∴P（4，2），

把P（4，2）代入反比例函數解析式可得m=8，

∴反比例函數解析式為y= ，

把A、P兩點坐標代入一次函數解析式可得 ，解得 ，

∴一次函數解析式為y= x+1

（2）

解：證明：∵點A與點B關于y軸對稱，

∴OA=OB，

∵PB⊥x軸于點B，

∴∠PBA=∠COA=90°，

∴PB∥CO，

∴ = =1，即AC=PC，

∴點C為線段AP的中點

（3）

解：存在點D，使四邊形BCPD為菱形．

理由如下：

∵點C為線段AP的中點，

∴BC= AP=PC，

∴BC和PC是菱形的兩條邊，

由y= x+1可得C（0，1），

如圖，過點C作CD∥x軸，交PB于點E，交反比例函數圖象于點D，分別連接PD、BD，

∴D（8，1），且PB⊥CD，

∴PE=BE=1，CE=DE=4，

∴PB與CD互相垂直平分，即四邊形BCPD為菱形，

∴存在滿足條件的點D，其坐標為（8，1）

【解析】（1）由條件可求得P點坐標，利用待定系數法可求得一次函數和反比例函數的解析式；（2）由平行線分線段成比例可求得AC=PC，可證得結論；（3）可先求得C點坐標，過C作CD∥x軸，交PB于點E，交反比例函數圖象于點D，可求得此時D點坐標，可證得四邊形BCPD為菱形．