Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．點P為拋物線上一動點，過點P作PQ∥BC交拋物線于點Q，P、Q兩點之間的距離為m．

（1）求直線BC的解析式；

（2）取線段BC的中點M，連接PM．當m最小時，判斷以點P、O、M、B為頂點的四邊形是什么特殊的平行四邊形，并說明理由；

（3）設N為y軸上一點，在（2）的基礎上，當∠OBN＝2∠OBP時，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）以點P，O，M，B為頂點的四邊形是菱形；（3）點N的坐標為（0， ）或（0，－ ）．

【解析】試題分析：

（1）由拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C可求得A、B、C三點的坐標，再由B、C的坐標即可求得直線BC的解析式為： ；

（2）由PQ∥BC可設直線PQ的解析式為，由m最小時，點P與點Q重合，可知此時直線與拋物線只有一個交點，由此可求得n的值，進而可解得此時點P的坐標，結合點M、O、B的坐標即可判斷四邊形BMOP是菱形；

（3）由四邊形BMOP是菱形可知∠MBO ＝∠OBP，此時，若點N在x軸上方，則由∠OBN＝2∠OBP，可得∠OBC＝∠CBN，如下圖，作CE⊥BN于點E，證△NCE∽△NBO，結合其它已知條件即可求得ON的長，從而得到點N的坐標；利用對稱性即可得到點N在x軸下方時的坐標.

試題解析：

（1）在中令y＝0，則，

解得：x1＝1，x2＝4；令x=0，則y=2；

∴A（1，0） ，B（4，0），C（0，2）；

設直線BC的解析式為y＝kx＋b，則，解得： ，

∴直線BC的解析式．

（2）以點P，O，M，B為頂點的四邊形是菱形，理由如下：

∵m取最小值時P，Q兩點重合，

∴此時直線PQ與拋物線只有一個交點，

由PQ∥BC可設直線PQ的解析式為，

由，得，

∵PQ和拋物線此時只有一個交點，

∴△＝，解得n＝0，

∴此時直線PQ的解析式為，方程為，解得： ，

∴此時點P的坐標為：（2，－1）．

∵點M為Rt△BOC的斜邊BC的中點，

∴OM＝BM，M的坐標為：（2，1），

∴點P和點M關于x軸對稱，

∴PM被x軸垂直平分，

∴OM＝OP，BM＝BP，

∴OM＝OP＝BM＝BP，

∴四邊形POMB為菱形．

（3）∵四邊形POMB為菱形，∴OB平分∠MBP．∴∠MBO ＝∠OBP．

當點N在x軸上方時，如下圖，

∵∠OBN＝2∠OBP，

∴∠OBC＝∠CBN．

作CE⊥BN，垂足為E．∵∠COB＝90，

∴CE＝CO＝2，易得BO＝BE＝4，△NCE∽△NBO，

∴．即，

∴NC＝，

∴NO＝，

∴當點N在x軸上方時，點N的坐標為（0， ）．

根據對稱性可得，當點N在x軸下方時，點N的坐標為（0，－ ）．

綜上所述：點N的坐標為（0， ）或（0，－ ）．