Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0，m≠0）的圖象交于點(diǎn)C，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、B，已知OB＝3，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，cos∠0BD＝

（1）求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）將一次函數(shù)圖象向下平移，使其經(jīng)過原點(diǎn)O，與反比例函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，連接AC，求四邊形OACB的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+3，；（2）9.

【解析】

（1）根據(jù)三角函數(shù)可求出OD的長(zhǎng)，把B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=kx+b可得到一次函數(shù)的解析式，把C點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)可得到反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)平移后解析式的k不變可得直線OA的解析式，利用反比例函數(shù)的解析式可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出OA的長(zhǎng)，根據(jù)B、C的坐標(biāo)可求出BC的長(zhǎng)，過O作OE⊥BC，利用三角函數(shù)可求出OE的長(zhǎng)，根據(jù)梯形面積公式求出四邊形OACB的面積即可.

（1）∵cos∠OBD=，OB=3，

∴∠OBD=45°，OD=OB=3，

∴，

解得：，

∴一次函數(shù)的解析式為：y=-x+3，

把C點(diǎn)橫坐標(biāo)代入得：y=-4+3=-1，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-1），

∵C點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，

∴-1=，解得：m=-4，

∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-.

（2）∵一次函數(shù)圖象向下平移,使其經(jīng)過原點(diǎn)O，

∴平移后直線OA的解析式為：y=-x，

把y=-x代入反比例函數(shù)得：-x=-，

解得：x1=2，x2=-2，

∵A點(diǎn)在第四象限，

∴x=2，

把x=2代入y=-x得y=-2，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）

∴OA=2，

過O作OE⊥BC于E，

∵OB=3，∠OBE=45°，

∴OE=3sin45°=，

∵B點(diǎn)坐標(biāo)（0，3），C點(diǎn)坐標(biāo)（4，-1）

∴BC==4，

∵OA//BC，

∴四邊形OACB是梯形，

∴SOACB=（2+4） =9.