Question

【題目】在平面直角坐標系中，△AOB為等邊三角形，B（2，0），直線l：y=kx+b經過點B，點C是x軸正半軸上的一動點，以線段AC為邊在第一象限作等邊△ACD．

（1）直接寫出點A的坐標：A（　 　，　 　），當直線l經過點A時，求直線BA的表達式．

（2）當直線l經過點D時，直線與y軸相交于點F，隨著點C的變化，點F的位置是否發生變化？若沒有變化，求出此時點F的坐標．；若有變化，請說明理由．

（3）當直線與線段OA相交與點E時，如果直線l把△AOB的面積分為1：2兩部分，求出此時點E的坐標．

（4）若點C的坐標為（4，0）時，直線l與線段AD有交點，請直接寫出此時k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（1，）;（2）點F的位置不會發生變化，為F（0，-2）;(3) E（， ），E′（ ，）；（4）x≤或者x≥

【解析】

（1）如圖，作AH⊥OB于H，解直角三角形求出AH即可，利用待定系數法求出直線AB的解析式即可；

（2）由△OAC≌△BAD（SAS），推出BD∥OA，求出直線BD的解析式即可解決問題；

（3）分兩種情況分別求解即可解決問題；

（4）求出直線AB，BD的解析式即可判斷k的取值范圍.

解：（1）如圖，作AH⊥OB于H．

∵B（2，0），△ABC是等邊三角形，

∴OA=OB=AB=2，

∵AH⊥OB，

∴OH=HB=1，

∴AH==

∴A（1，），

把A，B坐標代入y=kx+b得到：，

解之得，

所以直線AB解析式為．

故答案為1，．

（2）作直線BD，由已知AO=AB，AC=AO，

又∠OAB=∠CAD，

∠OAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC

∠OAC=∠BAD

△OAC≌△BAD（SAS）

∠AOC=∠ABD=60°，

∵∠OAB=∠AOB=60°，

∴∠OAB=∠ABD=60°，

∴BD∥OA

∵直線OA的解析式為，

設直線BD：，則，

所以b1=，

即點F的位置不會發生變化，為F（0，）．

（3）有兩種情況，

當OE=OA或OE′=OA時，滿足條件，

∵A（1，），

∴E（， ），E′（ ，）；

（4）如圖，

當C（4，0）時，易知：AB=BC=2，

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠ABO=60°=∠BAC+∠BCA，

∴∠BCA=∠BAC=30°，

∵∠ACD=∠OAB=60°，

∴∠DCB=∠OAC=90°，

∴AC=OA=2，

∴D（4，2），

∵直線AB的解析式為y=﹣+2，

當直線l經過點D時，直線l的解析式為y=x﹣2，

觀察圖象可知滿足條件的k的值為x≤或者x≥．