Question

【題目】如圖1，已知直線l：y=﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過O、A兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣1．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P是位于直線l下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合，連接PA、PC．設(shè)△PAC的面積為S，求當(dāng)S取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求S的最大值；
（3）如圖2，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，連接AD、BD．點(diǎn)E是對稱軸m上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線上一點(diǎn)，請直接寫出當(dāng)△DEF與△ABD相似時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=﹣x+2=3，則C（﹣1，3），

當(dāng)y=0時(shí)，﹣x+2=0，解得x=2，則A（2，0），

∵拋物線過點(diǎn)O（0，0）、A（2，0），

設(shè)拋物線解析式為y=ax（ x﹣2 ），

將點(diǎn)C（﹣1，3）代入得3=﹣a（﹣1﹣2 ），解得a=1，

∴該拋物線解析式為y=x（ x﹣2 ），即y=x2﹣2x

（2）

解：設(shè)P（m，m2﹣2m），過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線l于點(diǎn)Q，如圖1，則Q（m，﹣m+2），

∴PQ=（﹣m+2 ）﹣（m2﹣2m）=﹣m2+m+2，

∴S=S△PQC+S△PQA= （2+1）PQ=﹣ m2+ m+3=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)m= 時(shí)，S有最大值，最大值為 ，

把m= 代入m2﹣2m得m2﹣2m=﹣ ，

∴P（ ，﹣ ）

（3）

解：設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t2﹣2t），

當(dāng)x=1時(shí)，y=x2﹣2x=﹣1，則D（1，﹣1），當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x+2=2，則B（0，2），

∵AB2=22+22=8，AD2=12+12=2，DB2=12+（2+1）2=10，

∴AB2+AD2=DB2，

∴△ABD為直角三角形，∠BAD=90°，

如圖2，

當(dāng)△DEF∽△BAD，則∠DEF=∠BAD=90°， = ，即DE：2 =EF： ，

∴DE=2EF，

∵EF⊥DE，

∴E（1，t2﹣2t），

∴t2﹣2t+1=2（t﹣1），解得t1=1（舍去），t2=3，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）；

當(dāng)△DEF∽△DAB，則∠DEF=∠BAD=90°， = ，即DE： =EF：2 ，

∴DE= EF，

∵EF⊥DE，

∴E（1，t2﹣2t），

∴t2﹣2t+1= （t﹣1），解得t1=1（舍去），t2= ，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣ ）；

如圖3，

當(dāng)△DFE∽△BAD，則∠DFE=∠BAD=90°，∠FDE=∠ADB，

過F點(diǎn)作FG⊥DE于G，則△DGF∽△BAD，同樣方法可得G（1，3），則F（3，3），

∵GF2=GEGD，即22=GE4，

∴GE=1，

∴此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；

當(dāng)△DFE∽△DAB，則∠DFE=∠BAD=90°，用同樣方法可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ），

綜上所述，E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），（1，4），（1， ），（1，﹣ ）．

【解析】（1）先根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出C（﹣1，3），A（2，0），再設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=ax（ x﹣2 ），然后把點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到該拋物線解析式為y=x2﹣2x；（2）設(shè)P（m，m2﹣2m），過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線l于點(diǎn)Q，如圖1，則Q（m，﹣m+2），則PQ=﹣m2+m+2，根據(jù)三角形面積公式，利用S=S△PQC+S△PQA可得到S=﹣ m2+ m+3，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題（3）設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t2﹣2t），先確定D（1，﹣1），B（0，2），再利用勾股定理的逆定理證明△ABD為直角三角形，∠BAD=90°，然后分類討論：如圖2，當(dāng)△DEF∽△BAD，則∠DEF=∠BAD=90°，利用相似比得DE=2EF，由于EF⊥DE，則E（1，t2﹣2t），所以t2﹣2t+1=2（t﹣1），解得t1=1（舍去），t2=3，易得此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）；當(dāng)△DEF∽△DAB，則∠DEF=∠BAD=90°， = ，利用相似比得DE= EF，
由EF⊥DE得到E（1，t2﹣2t），則t2﹣2t+1= （t﹣1），解得t1=1（舍去），t2= ，易得此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣ ）；如圖3，當(dāng)△DFE∽△BAD，則∠DFE=∠BAD=90°，∠FDE=∠ADB，過F點(diǎn)作FG⊥DE于G，則△DGF∽△BAD，用前面方法可得G（1，3），則F（3，3），利用GF2=GEGD可計(jì)算出GE=1，則此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；當(dāng)△DFE∽△DAB，則∠DFE=∠BAD=90°，用同樣方法可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ）．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．