Question

【題目】如圖1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC＜AB＜2BC．在AB邊上取一點M，使AM=BC，過點A作AE⊥AB且AE=BM，連接EC，再過點A作AN∥EC，交直線CM、CB于點F、N．

（1）證明：∠AFM=45°；

（2）若將題中的條件“BC＜AB＜2BC”改為“AB＞2BC”，其他條件不變，請你在圖2的位置上畫出圖形，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請猜想∠AFM的度數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不成立．∠AFM=135°．

【解析】試題分析：（1）連接EM，根據AE⊥AB，AE=MB，AM=CB，可求出△AEM≌△BMC；根據直角三角形的性質可知△EMC是等腰直角三角形；再結合平行線的性質可知∠AFM=45度．

（2）根據題意畫出圖形，再用（1）中方法證明∠AFM=45°不成立．

試題解析：證明：（1）連接EM．∵AE⊥AB，∴∠EAM=∠B=90°．

∵AE=MB，AM=CB，∴△AEM≌△BMC，∴∠AEM=∠BMC，EM=MC．

∵∠AEM+∠AME=90°，∴∠BMC+∠AME=90，∴∠EMC=90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠MCE=45°．∵AN∥CE，∴∠AFM=∠MCE=45°．

解：（2）畫出圖②．

不成立．∠AFM=135°．

連接ME．前半部分證明方法與（1）同，∴∠MCE=45°．

∵AN∥CE，∴∠AFM+∠MCE=180°，∴∠AFM=135°．