Question

【題目】在△ABC中，AB＝4 ，BC＝6，∠B＝45°，D為BC邊上一動點，將△ABC沿著過點D的直線折疊使點C落在AB邊上，則CD的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵D為BC邊上一動點，將△ABC沿著過點D的直線折疊使點C落在AB邊上，根據(jù)軸對稱的性質，則點C與點C'應在以點D為圓心，DC為半徑的圓上，
∴CD的最小值的情形，是⊙D與AB相切時，CD的最大值的情形，是點C'與點A重合時.
①當⊙D與AB相切時，如圖1：

圖1
過點D作DC'AB于點C'，設CD=x，則DC'=CD=x，
∵∠B＝45°，∴BD=x，
∴x+x=6，
解得：x=.
②當點C'與點A重合時，如圖2：

連接DA，過點A作AEBC于點E，設DC=DA=x，
∵∠B＝45°，∴AE=BE=4，∴EC=6-BE=6-4=2，
∴DE=x-2，
在RtADE 中，根據(jù)勾股定理得：
x2=（x-2）2+42 ，
解得：x=5.
綜合①②，可知.
故答案是：.
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和軸對稱的性質，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上才能得出正確答案．