Question

【題目】聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念． 定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．
舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準外心．
應用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD= AB，求∠APB的度數．
探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準外心P在AC邊上，試探究PA的長．

Answer 1

【答案】應用：解：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC， ∵CD為等邊三角形的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD= DB= AB，
與已知PD= AB矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD= AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，
故∠APB=90°；
探究：解：∵BC=5，AB=3，
∴AC= = =4，
① 若PB=PC，設PA=x，則x2+32=（4﹣x）2 ，
∴x= ，即PA= ，
②若PA=PC，則PA=2，
③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或 ．

【解析】應用：連接PA、PB，根據準外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質求出PD與AB的關系，然后判斷出只有情況③是合適的，再根據等腰直角三角形的性質求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度數；探究：先根據勾股定理求出AC的長度，根據準外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況，根據三角形的性質計算即可得解．